Fractales et mathématique - dimension fractale
La dimension fractale
La dimension d'un objet fractal n'est pas facile à définir, et n'est pas forcément entière, car quelle dimension donner à un objet qui semble infini?
Benoît Mandelbrot définie la dimension fractale ainsi:
"Nombre qui quantifie le degré d'irrégularité et de fragmentation d'un ensemble géométrique ou d'un objet naturel, et qui se réduit, dans le cas des objets de la géométrie usuelle d'Euclide, à leurs dimensions usuelles."
Essayons de comprendre cette définition complexe. Pour cela, nous allons d'abord redéfinir les dimensions usuelles, puis à partir de l'exemple de la côte bretonne, mettre en évidence la notion de dimension fractale.
Nous allons enfin tenter de calculer la dimension fractale, premièrement d'un objet dans le plan avec l'exemple de la côte bretonne, puis celle d'un objet en relief, comme le chou fleur.
Il s'agira donc d'une partie très théorique dans laquelle nous avons choisi de faire figurer tous les calculs, car la dimension fractale est une des particularités les plus interessantes en matière de mathématique en ce qui concerne les objets fractals.
1) Les dimensions usuelles et entières
| Objet | Représentation | Dimension | Mesure |
| | | 0 | |
| | | 1 | mètres |
| | | 2 | mètres carré |
| | | 3 | mètres cube |
2) Mise en évidence de la dimension fractale
Notion d'étalon:
- l'étalon de longueur est une règle de longueur fixe (dimension 1) : pour mesurer une longueur, on regarde combien de règles tiennent bout-à-bout sur la courbe ;
- l'étalon de surface est un carreau (carré) de côté fixe (dimension 2) : pour mesurer la surface, on regarde combien de carreaux ou peut poser côte-à-côte sur la surface ;
- l'étalon de volume est un pavé (cube) d'arrête fixe (dimension 3) : pour mesurer le volume, on regarde combien de pavés on peut empiler dans l'objet.
- Plus l'étalon utilisé pour la mesure est petit, plus la mesure sera précise, car prenant en compte plus de détails.
Observation de la côte bretonne.
.1ère mesure.
Avec un étalon de 5cm.
On obtient 10 segments égaux.
Longueur supposée de la côte=5*10= 50cm
(ici on mesure la taille de la représentation cartographique de la côte, et non sa longueur réelle.)
.2ème mesure:
Avec un étalon de 2,5cm.
On obtient 23 segments égaux.
Longueur supposée de la côte=2,5*23
=57,5cm.
Conclusion sur la notion d'étalon:
La longueur de la côte de la deuxième mesure, effectuée avec une étalon plus petit, est supérieure à la premire.
Nous avons ainsi mis en évidence le fait que plus l'étalon est précis, plus la mesure en sera de même. Ainsi, si l'on prend un étalon de la taille d'un grain de sable, d'une molécule, d'un atome, la mesure de la côte prendra en compte une infinité d'aspérités et de détails, et bien entendu, si l'on continue à prendre un étalon toujours plus petit, on peut considérer que la mesure de la longueur de la côte bretonne est infinie.
3) Calcul de la dimension fractale d'un objet dans le plan: la côte bretonne.
(Nous reprenons les mesures effectuées au-dessus.)
On a donc :
-
10 segments de 5cm
-
un rapport de ½
-
23 segments de 2,5cm
La formule permettant de calculer la dimension fractale est la suivante:
avec n nombre de segments obtenus après réduction,
nombre de segments de base et r rapport de réduction.
Soit ici :
La dimension fractale de la côte bretonne est donc de 1,2.
4) Calcul de la dimension fractale d'un objet en relief: le chou fleur
-
calcul de l’aire du chou entier
On mesure approximativement le diamètre du chou : on obtient d=14cm d’où r=7cm
On considère le chou comme une boule, ce qui facilitera les calculs. D’après la formule du volume d’une boule, on a :
Soit ici
-
calcul de l’aire des branches issues du chou entier
On coupe les branches qui partent directement du tronc du chou. On en obtient 17. On calcule ensuite la moyenne de leurs volumes en procédant de la même manière que pour le chou entier, mais pour chaque branche. La moyenne de leurs rayons est de 4.7cm donc la moyenne de leurs volumes est :
On remarque que 
Le rapport de réduction de l’itération vaut donc
car 
-
calcul de la dimension fractale du chou
La formule pour calculer la dimension fractale du chou est :
avec n nombre de branches obtenues après l’itération, 
nombre de branches initiales et r réduction)
Soit ici :
La dimension fractale du chou fleur est donc de 2,3.